六合彩中獎機率
頭獎中獎機率係 1/13,983,816，中三個字約 1/61。下面七個數全部由組合數學推導，唔係抄回嚟。
七個獎項機率一覽
每個獎項嘅「合乎組合數」除以總組合數 13,983,816，就係嗰個獎項嘅機率。 算式一併列出，你可以逐格自己按計算機核對。
| 獎項 | 要中乜 | 組合數算式 | 合乎組合 | 機率 |
|---|---|---|---|---|
| 頭獎 | 中齊 6 個攪出號碼 | C(6,6) × C(1,0) × C(42,0) | 1 | 1 / 13,983,816 |
| 二獎 | 中 5 個攪出號碼 + 特別號碼 | C(6,5) × C(1,1) × C(42,0) | 6 | 1 / 2,330,636 |
| 三獎 | 中 5 個攪出號碼 | C(6,5) × C(1,0) × C(42,1) | 252 | 1 / 55,491 |
| 四獎 | 中 4 個攪出號碼 + 特別號碼 | C(6,4) × C(1,1) × C(42,1) | 630 | 1 / 22,197 |
| 五獎 | 中 4 個攪出號碼 | C(6,4) × C(1,0) × C(42,2) | 12,915 | 1 / 1,083 |
| 六獎 | 中 3 個攪出號碼 + 特別號碼 | C(6,3) × C(1,1) × C(42,2) | 17,220 | 1 / 812 |
| 七獎 | 中 3 個攪出號碼（即中三個字） | C(6,3) × C(1,0) × C(42,3) | 229,600 | 1 / 61 |
七行嘅合乎組合加埋係 260,624 個， 即係中到至少一個獎嘅機率約 1/54。
個式係點嚟嘅
攪珠攪出 6 個正碼再加一個特別號碼，即係成副 49 個號碼被分成三組：6 個正碼、1 個特別號碼，同埋剩低 42 個乜都唔係嘅號碼。
你買嘅一注有 6 個號碼。要中某個獎項，就等於你嗰 6 個號碼要按指定方式落喺呢三組入面：中 k 個正碼、中 s 個特別號碼（s 只可以係 0 或者 1）、 其餘 6 − k − s 個落喺乜都唔係嗰 42 個入面。
三組各自獨立咁揀，所以三個組合數相乘：
合乎組合 = C(6, k) × C(1, s) × C(42, 6 − k − s)
機率 = 合乎組合 ÷ C(49, 6) = 合乎組合 ÷ 13,983,816
點解分母係 C(49, 6)
攪出嘅號碼冇次序之分。同一個號碼，第一粒攪出定係最後先攪出， 對你張飛嚟講完全一樣，所以要數嘅係組合唔係排列。
如果連次序都計埋，個數會大好多：第一粒有 49 個可能， 第二粒剩 48 個，一路乘足 6 次， 合共 10,068,347,520 種排法。
但同一組 6 個號碼，喺呢 10,068,347,520 種入面被重複數咗 6! = 720 次（即係嗰 6 個號碼自己排嘅次數）。 除返落去就得返 13,983,816。呢個分母係死嘅，同期數、金多寶、當期投注額全部無關。
七個獎項機率嘅完整推導表
上面條式拆開三個因子，每個因子各自代表一件事。k 係你中咗幾多個正碼， s 係中唔中特別號碼（只可以係 0 或者 1）。
- C(6, k)：由攪出嘅 6 個正碼度，揀邊 k 個係你中咗嘅。
- C(1, s)：特別號碼得一個，中係一種情況，唔中都係一種情況，所以呢欄永遠等於 1。
- C(42, 6 − k − s)：你張飛剩低嗰幾個位， 要由 42 個「唔係正碼又唔係特別號碼」嘅號碼度填。
| 獎項 | 要中乜 | C(6,k) | C(1,s) | C(42,6−k−s) | 合乎組合 | 機率 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 頭獎 | 中齊 6 個攪出號碼 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 / 13,983,816 |
| 二獎 | 中 5 個攪出號碼 + 特別號碼 | 6 | 1 | 1 | 6 | 1 / 2,330,636 |
| 三獎 | 中 5 個攪出號碼 | 6 | 1 | 42 | 252 | 1 / 55,491 |
| 四獎 | 中 4 個攪出號碼 + 特別號碼 | 15 | 1 | 42 | 630 | 1 / 22,197 |
| 五獎 | 中 4 個攪出號碼 | 15 | 1 | 861 | 12,915 | 1 / 1,083 |
| 六獎 | 中 3 個攪出號碼 + 特別號碼 | 20 | 1 | 861 | 17,220 | 1 / 812 |
| 七獎 | 中 3 個攪出號碼（即中三個字） | 20 | 1 | 11,480 | 229,600 | 1 / 61 |
三欄相乘就係「合乎組合」，再除 13,983,816 就係最右邊嗰欄。 C(1,s) 成條欄都係 1，睇落好似多餘，但佢係提你特別號碼冇得揀， 唔可以當佢係「第七個正碼」咁計。
跟住行一次驗算。將 k 由 0 數到 6、s 由 0 數到 1，全部情況窮舉一次： 有獎嗰啲加埋係 260,624 個組合， 冇獎嗰啲加埋係 13,723,192 個， 兩者相加 13,983,816， 同 C(49, 6) = 13,983,816 完全對得上。
呢條驗算就係我哋同「抄返嚟」嗰啲站唯一嘅分別。抄嗰陣移錯一個小數位， 單睇個表係睇唔出嘅，但一加總就即刻穿煲。想睇獎項條件本身點定， 去中獎算法嗰版睇。
逐個獎項拆一次
頭獎最簡單：k = 6、s = 0，即係 C(6,6) × C(1,0) × C(42,0) = 1。13,983,816 個組合入面只得一個啱，所以 1/13,983,816。
二獎係中 5 個正碼加特別號碼：C(6,5) = 6 種「邊 5 個正碼中咗」嘅可能，特別號碼冇得揀（只有一個）， 所以合乎組合係 6 個，機率啱啱好係頭獎嘅六倍。
三獎同二獎都係中 5 個正碼，分別只係最後嗰個號碼係咪特別號碼。三獎嘅最後一個號碼可以落喺42 個「乜都唔係」嘅號碼入面任何一個，所以係 6 × 42 = 252 個組合。一個特別號碼 vs 42 個普通號碼， 三獎啱啱好易中 42 倍 —— 兩個獎項派彩相差咁遠，根源就係呢個 42。
去到七獎（中三個字），k = 3、s = 0：C(6,3) × C(42,3) = 20 × 11480 = 229,600 個組合， 係七個獎項入面最闊嗰個。
坊間好多網站將機率寫大咗十倍
我哋核對呢版嘅時候順手查咗幾個排得幾前嘅六合彩資訊站， 當中有站將七個獎項嘅機率整批寫大咗十倍：頭獎寫成一百三十幾萬份之一、 中三個字寫成六份之一。呢啲數一睇就知有問題 —— 如果中三個字真係六注中一注， 投注處門口早就企滿人。
成因多數唔係惡意，而係抄嚟抄去嗰陣移錯咗一個小數位，之後被下一個網站原封不動抄多次。 你唔使識組合數學都可以三十秒驗到：
- 睇佢寫嘅頭獎機率分母，唔係 13,983,816 就有問題（呢個數係死嘅，同期數無關）。
- 將佢七個獎項嘅分母各自倒數，加埋。加出嚟應該接近 1/54， 大幅偏離就係抄錯。
- 睇佢有冇寫算式。淨係俾一堆數字、冇 C(49,6) 呢類推導嘅， 通常係整段搬字過紙。
本站全部機率由上面條式即場計出嚟，唔係寫死喺文章度，所以唔會出現「文章寫一個數、表寫另一個數」嘅情況。
同其他機率事件對比
1/13,983,816 呢個數太抽象，講咗等於冇講。 坊間鍾意搬啲「俾雷劈嘅機率」之類嘅數字嚟襯托，但嗰啲統計多數查唔到出處， 我哋唔採用。改用另一種講法：同樣呢個機率，等於連續做中幾多次一件簡單嘅事。
| 對照事件 | 要連續成功幾多次 | 計法 |
|---|---|---|
| 擲公字，連續擲到同一面 | 23.7 次 | log₂(13,983,816) |
| 喺 49 個號碼度隨機揀一個，連續揀中指定嗰個 | 4.2 次 | ln(13,983,816) ÷ ln(49) |
| 一副 52 張牌洗勻抽一張，連續抽中指定嗰張 | 4.2 次 | ln(13,983,816) ÷ ln(52) |
數字係咁計出嚟嘅：每次成功機率係 p，連續成功 n 次就係 p 嘅 n 次方。 要令佢等於 1/13,983,816，n 就係嗰個對數值。
最直觀嗰行係第一行：買一注中頭獎，難度大概等於擲銀仔連續 23.7 次都擲到同一面。 自己攞個銀仔試下擲十次，就知道呢件事有幾難。
買幾多注先「大概會中一次」
將機率倒轉睇會實際好多：一注中某個獎項係幾多分之一， 就代表平均要買幾多注先預期中到一次。連埋成本一齊列出嚟係咁：
| 獎項 | 一注中嘅機率 | 期望中一次要買幾多注 | 呢咁多注嘅成本 |
|---|---|---|---|
| 頭獎 | 1 / 13,983,816 | 13,983,816 注 | HK$139,838,160 |
| 二獎 | 1 / 2,330,636 | 2,330,636 注 | HK$23,306,360 |
| 三獎 | 1 / 55,491 | 55,491 注 | HK$554,910 |
| 四獎 | 1 / 22,197 | 22,197 注 | HK$221,970 |
| 五獎 | 1 / 1,083 | 1,083 注 | HK$10,830 |
| 六獎 | 1 / 812 | 812 注 | HK$8,120 |
| 七獎 | 1 / 61 | 61 注 | HK$610 |
要講清楚一件事：「買 N 注」唔等於「一定會中」。
期望值講嘅係平均，唔係保證。假設你分開 N 期、每期買一注， 買足 N 注之後仍然一次都冇中過嘅機率，仲有 36.8%。 呢個數同揀邊個獎項無關，任何機率算落去都會收斂到同一個值，數學上就係 1/e。
另外要老實講：買多啲注只係按注數比例增加中獎機會， 唔會改變每一注本身嘅機率結構，更加唔會令期望值由負變正。 買一百注同買一注，每一注嘅勝算完全一樣。想睇自己張飛實際要俾幾錢， 用成本計算機撳兩下就知。
機率同派彩擺埋一齊睇
知道機率之後，最實際嘅用法係對返派彩。四至七獎係固定金額，直接就計到期望值：
| 獎項 | 中獎條件 | 每注派彩（HK$10 注項） | 單式一注機率 |
|---|---|---|---|
| 頭獎 | 中齊 6 個攪出號碼 | 浮動獎金示範值 HK$8,000,000 | 1 / 13,983,816 |
| 二獎 | 中 5 個攪出號碼 + 特別號碼 | 浮動獎金示範值 HK$1,200,000 | 1 / 2,330,636 |
| 三獎 | 中 5 個攪出號碼 | 浮動獎金示範值 HK$60,000 | 1 / 55,491 |
| 四獎 | 中 4 個攪出號碼 + 特別號碼 | HK$9,600 | 1 / 22,197 |
| 五獎 | 中 4 個攪出號碼 | HK$640 | 1 / 1,083 |
| 六獎 | 中 3 個攪出號碼 + 特別號碼 | HK$320 | 1 / 812 |
| 七獎 | 中 3 個攪出號碼（即中三個字） | HK$40 | 1 / 61 |
舉個例，七獎每 61 注中一次，每注成本 HK$10， 即係平均要付出 HK$610 先預期中一次， 而中到嗰次派 HK$40。 呢個唔係要嚇你，係要講清楚：六合彩係娛樂，唔係投資工具。
頭三獎係浮動獎項，要睇當期獎金基金同有幾多人中，所以計唔到固定期望值。 金多寶場次派彩大好多，但機率一模一樣，詳情見 金多寶。
每注嘅整體期望回報
固定獎項嗰四個可以直接計：派彩除以機率分母，就係嗰個獎項對每注嘅期望貢獻。
| 獎項 | 固定派彩 | 一注中嘅機率 | 每注期望貢獻 |
|---|---|---|---|
| 四獎 | HK$9,600 | 1 / 22,197 | HK$0.4325 |
| 五獎 | HK$640 | 1 / 1,083 | HK$0.5911 |
| 六獎 | HK$320 | 1 / 812 | HK$0.3941 |
| 七獎 | HK$40 | 1 / 61 | HK$0.6568 |
四行加埋係每注 HK$2.0744，對返每注成本 HK$10， 即係 20.7%。換句話講， 單靠固定獎項嗰部分，每買 HK$10 平均攞返嘅只係一個細百分比。
其餘嘅期望值全部集中喺浮動嘅頭三獎。而頭三獎每注派幾多， 要睇嗰期獎金基金幾大、同埋有幾多人一齊中，兩個數每期都變， 所以冇一個固定嘅整體期望回報數字寫得出。任何話俾你聽「六合彩回報率係 X%」嘅站， 如果冇講明佢用邊期嘅基金同幾多注中獎，個數就係嗡出嚟嘅。
全餐包晒 49 個號碼嘅數點計
有人問過：包晒 49 個號碼咪一定中頭獎？邏輯上啱，數字上企唔住。 呢段唔係策略建議，係示範點解呢個諗法喺數學上行唔通。
全包即係買齊 13,983,816 注，成本 HK$139,838,160，口語啲講就係成 1.3984 億。
對返頭獎獎金基金嘅最低保證 800 萬， 全餐成本係佢嘅 17.48 倍。即係話，如果嗰期啱啱好只得最低保證， 你穩穩陣陣中到頭獎，一樣蝕一大截。
再計仔細啲。全包一定會中晒每一個獎項，四至七獎收返嘅固定派彩總數係 HK$29,008,000，扣完之後仲爭 HK$110,830,160 未填到。 即係頭三獎嗰筆獎金基金要滾到 1.1083 億 以上先至打和， 相當於最低保證嘅 13.85 倍。
仲有個前提未計：呢筆錢要你一個人獨得。 只要同期有第二個人中頭獎，基金一分為二，條數即刻爆煲。 而基金滾得越大，越多人買飛，撞正有人同你一齊中嘅機會就越高。
兩個最常見嘅誤解
第一個：「呢組號碼好耐冇出，係時候出喇。」攪珠機冇記憶，每期都係由 49 個波重新開始，上期出過乜同今期完全無關。
第二個：「買複式包多啲號碼，機率大好多。」複式係買咗好多注，注數升幾多、機率就升幾多， 冇額外優惠。想睇實際銀碼，去 複式計算機 撳兩下就知。
常見問題
- 六合彩中頭獎機率係幾多？
- 1/13,983,816。因為喺 49 個號碼揀 6 個一共有 13,983,816 個組合，而合乎頭獎條件嘅只有一個。
- 中三個字嘅機率有幾高？
- 約 1/61。七獎係最容易中嗰個獎項，但都要平均買六十幾注先預期中一次。
- 買多幾注係咪機率會成倍升？
- 買唔同號碼嘅注會直接相加：買十注唔同號碼，中頭獎機率就係十份之一嘅十倍。但基數太細，乘十之後仍然係百幾萬份之一，感覺唔會有分別。
- 點解每個網站寫嘅六合彩機率都唔同？
- 多數係抄錯或者換算單位嗰陣移錯小數點。最常見係整批數值大咗十倍。自己驗好簡單：七個獎項嘅合乎組合數加埋，再除返總組合數，如果同佢寫嘅「中任何獎機率」對唔上，佢就係錯。
- 機率咁低，點解仲有咁多人中頭獎？
- 因為每期賣出嘅注數以百萬計。一注中頭獎係 1/13,983,816，但成個池有幾百萬注，出現一兩注中獎完全正常。呢個叫大數法則，同你嗰注嘅機率無關。
- 中任何一個獎嘅機率係幾多？
- 約 1/54。即係話一注飛入面，大約每 54 注先有一注會中到至少七獎。
- 買多啲注，每注嘅中獎機率會唔會高咗？
- 唔會。你手上有幾多注，中獎機會就按注數成比例上升，買十注即係十份機會，但每一注本身嘅機率結構完全冇變過。期望值同樣冇變，一路都係負數，買一注同買一百注每注嘅勝算一模一樣。
- 包晒 49 個號碼要幾多錢？
- 13,983,816 注，成本 HK$139,838,160，即係成 1.3984 億。